素数永远会成对地靠得很近

问题是什么

素数越往后越稀。在数 x 附近，一个素数到下一个素数的平均距离大约是 log x（自然对数）。所以在一百万附近，平均间隔约为 14；在一个 100 位数附近，约为 230。平均间隔会无限增大。

然而，小间隔总是不断出现。11 和 13，101 和 103，1,000,037 和 1,000,039。像这样相差 2 的一对素数，叫孪生素数。孪生素数猜想说，它们永远不会断绝。没人能证明。

在 2013 年之前，连一个弱得多的命题也没人能证明：存在某个固定的数（不管多大），使得总有素数对靠得比它还近，永远如此。张益唐证明了它。

把这两个事实放在一起看。把窗口往远处移：平均间隔变大了，但小间隔并没有消失。

用符号写，设 p_n 是第 n 个素数，论文摘要里的结论是：

“lim inf”（下极限）指的是：无论走多远，间隔总会一再回到的那个最小值。孪生素数猜想说它等于 2。在张益唐之前，人们连它是否有限都不知道。

到底证明了什么

张益唐并不直接去找素数对。他看的是“模式”。取一组固定的位移，比如 {0, 2, 6}，让它沿数轴滑动：n、n+2、n+6。有时候三个数全是素数（5、7、11；然后 11、13、17；然后 17、19、23）。

有些模式不可能多次全为素数。对 {0, 2, 4}，三个数里总有一个是 3 的倍数。没有这种先天障碍的模式叫做容许的：对每个素数 p，这些位移除以 p 的余数至少空出一个没用到。

人们相信，每个容许的模式都会无穷多次全为素数。这远远超出目前的能力。张益唐证明的是一个较弱、但已经够用的结论：

同一份模式里的两个素数，相距不会超过模式的宽度。所以剩下的事情只是：拿出一个含 350 万个位移的容许模式，量一量它有多宽。

7000 万是怎么来的

张益唐的模式很简单：取 k 个都大于 k 的素数。这样的模式一定是容许的。对素数 p ≤ k，这些位移都不是 p 的倍数，所以余数 0 空着。对 p > k，位移的个数太少，占不满 p 个余数。

张益唐自己说得很清楚，这个数不是最优的：“这个结果当然不是最优的……把这个界换成尽可能小的值是一个未解决的问题，本文不予讨论。”要紧的是它是有限的。

加权平均的想法

整个方案来自戈德斯通、平茨和伊尔迪里姆（Goldston、Pintz、Yıldırım，简称 GPY）。张益唐的工作建立在他们 2005 年的成果之上（参考文献 [7]）。这是一个求平均的论证。

固定模式。对 x 到 2x 之间的每个位置 n，数一数 n + h_i 这些数里有几个素数。如果平均个数大于 1，那么必有某个位置至少有 2 个素数，问题就解决了。

直接求平均是没有希望的：素数很稀少，平均个数小得可怜。GPY 的想法是求加权平均。给每个位置 n 一个权重，它永远不为负，并且当 n + h_i 这些数很少有小素因子时权重就大，因为这种时候它们才更可能是素数。

权重是一个平方 λ(n)²，这保证了它不为负。平方里面是对乘积 (n+h₁)(n+h₂)⋯ 的因数 d 求和，但只取小于某个界限 D 的因数：

这里 μ(d) 按 d 的素因子个数是偶数还是奇数取 +1 或 −1。公式本身不必弄懂。要紧的只有 D 这一个旋钮：界限 D 越大，权重找素数的本领越强。在真实数字上试试。

论文里把这两个和记作 S₁（总权重）和 S₂（权重乘以找到的素数，每个素数按它的对数计）。目标是不等式 (2.3)：

这就是“加权平均大于 1”换了一身衣服。每个小于 3x 的素数贡献不到 log 3x，所以如果某个位置的贡献超过 log 3x，那里就至少有两个素数。

只差一根头发丝

为什么证明里不能用大的 D？计算 S₂ 需要知道：对每个 d，有多少素数落在模 d 的某些余数类里。预期的答案是每个允许的余数类各占一份。把平方展开后，模会一直取到 D²。

这方面已知的最好结果是邦别里–维诺格拉多夫定理（1965 年）：在平均意义下，对直到大约 √x 的所有模，素数在各余数类上分布均匀。行话说，素数的分布水平是 ½。所以 D² 至多是 x^1/2，也就是说

而用这个 D，无论模式有多少个位移，加权平均算出来都恰好略小于 1。把两个和都算出来（论文第 4、5 节），对有 k 个位移的模式和 D = x^{1/4 + ϖ}，结果是：

两个分数都小于 1，不过只要 l 取大、k 取得更大得多，它们就能任意接近 1。所以当 ϖ = 0 时，平均值从下方逼近 1，却永远到不了。而只要 ϖ > 0，不管多小，因子 (1 + 4ϖ) 就能把它推过去。

没人能证明分布水平超过 ½。在某些特殊情形下它是已知的（富夫里、伊万尼克、邦别里和弗里德兰德在 1980 年代的工作，参考文献 [1]–[3] 和 [5]），但那些结果要求模变化时余数类保持固定，而 GPY 的和式不是这种形状。这两条路线能否结合起来，是 GPY 论文里自己提出的问题。张益唐的论文给出了回答：能。

张益唐的两个观察

张益唐取 D = x^{1/4 + ϖ}，其中 ϖ = 1/1168。这超出了邦别里–维诺格拉多夫定理允许的范围。他靠的是对权重的一处改动，以及关于这处改动的两个观察。

改动。在定义 λ(n) 的和式里，只保留素因子全都很小（小于 x^ϖ）的因数 d。这样的数叫做光滑数。论文里这个条件写作“d 整除 𝒫”，其中 𝒫 是所有小于 x^ϖ 的素数的乘积。

观察一：丢掉不光滑的因数，几乎没有损失

被丢掉的是含有大于 x^ϖ 的素因子的那些因数。张益唐证明，它们对主项的总贡献只占整体的一个比例 κ，而

这是小数点后面跟着 500 多个零。就实际效果而言，加权平均没有变。这是论文第 4、5 节的内容，模式的大小也是在这里定下来的：只有当 k 达到几百万时，这个估计才会这么小（第 6 章可以让你亲眼看到原因）。

观察二：光滑的模可以随心所欲地拆开

这是张益唐称之为“证明中最新颖的部分”的地方。光滑数是许多小素数的乘积。所以，把其中一些素数乘起来，几乎可以凑出任何你想要的大小的因数。张益唐把每个模写成

其中 r 的大小接近论证所需要的任何值（引理 4）。素数模则完全拆不开。所有超越水平 ½ 的技巧，都需要模能分解成大小合适的两部分，而光滑的模永远做得到。

凭借这一点，张益唐证明了整篇论文所依赖的那一条关于素数的新事实：

这是一个越过了平方根屏障的邦别里–维诺格拉多夫型定理，代价是只用光滑模，并且只管模式所需要的那些特定余数类。观察一说明第一条限制无伤大雅。第 7、8 章概述定理 2 是怎么证的。它占了第 24–53 页，超过论文的一半。

获胜的余量

假设定理 2 成立。那么取 D = x^{1/4 + ϖ} 时两个和都能算出来，定理 1 证明的最后一步就是一个不等式，即论文中的 (5.8)：某个常数 ω 必须为正。用第 3 章的话说，就是加权平均必须超过 1。

张益唐的取法是：k₀ = 3,500,000 个位移，指数参数 l₀ = 180，ϖ = 1/1168。拧一拧这几个旋钮，看看各自起什么作用。

有三点值得注意。

ϖ = 0 时怎么都不行。对任何 k₀ 和 l₀，平均值都在 1 以下。这就是那根头发丝。

取张益唐的值时，平均值约为 1.0005。比目标只高出两千分之一。余量这么薄，是因为 ϖ 太小：因子 1 + 4ϖ 只有 1.0034，第 4 章里那两个分数的乘积必须保持在 1/1.0034 以上。这就逼得 l₀ 取到几百，而 k₀ 还要大得多。

把 k₀ 稍微调小，κ₁ 就爆炸。光滑性的代价是 (1 + 4ϖ)^−k₀ 乘上一些巨大的计数因子。只有当 k₀ 达到三百万左右，前一个因子才压得住后者。用张益唐自己的界，本页发现大约从 k₀ = 295 万起（l₀ 取 150 左右）证明就能合上。张益唐很宽裕地往上取了整，并注明这些界是“粗糙的”。

把素数拆成零件

现在是难的那一半：证明定理 2。它说的是，对 x^1/2 到 x^{1/2 + 2ϖ} 之间的模 d，素数在余数类上怎样分布。（x^1/2 以下，邦别里–维诺格拉多夫定理已经管了。）

素数难以直接处理，因为“是素数”这件事没有公式。标准的做法是把素数换成一些更简单的东西的和。张益唐用的是希思-布朗（Heath-Brown）的一个恒等式（引理 6）。它把探测素数的函数改写成许多项的组合，每一项都有乘积结构：形如

的数，其中每个因子都限制在已知的大小范围内，总共至多 20 个因子。那些 m 带着麻烦的 ±1 符号，但它们很小（至多 x^1/10）。那些 n 则完全不带符号：它们只是“某个范围内的所有整数”，是最规矩不过的东西。

一项该怎么处理，取决于它的各个因子的大小能怎样分组。在对数尺度上，这些大小是加起来等于 1 的一段段长度。张益唐把每一项归入三种类型（第 6 节）。

I 型和 II 型

因子可以分成两组，其中一组的大小在大约 x^3/8 与 x^1/2 之间。两组大小均衡是经典的情形，用“离差法”处理。II 型是近乎完全均衡的情形，两组都接近 x^1/2，记账方式略有不同。（在上面的图里，II 型只是 1/2 左边极窄的一条。）

III 型

怎么分组都得不到均衡的两组。张益唐用一段简短的计数论证说明，这只可能发生在该项有三到四个很长的不带符号的因子、每个大约 x^1/4 或更大的时候。三个规矩的范围相乘，是另一种有专门工具的情形。

平凡情形

有一个因子实在太长（超过 x^{1/2 + 3ϖ}）、太规矩，均匀分布是显然的。

精确的分界是 3/8 + 8ϖ 和 1/2 − 4ϖ。这些带 ϖ 的小修正，正是最终数值 1/1168 的来历：每种类型都需要一点空间，把所有情形同时挤进去之后，剩下的就是 1/1168。

平方根抵消

这是论文中技术性最强的部分。下面讲论证的轮廓，以及推动它的那一个想法。

I 型和 II 型：离差法

这一项有两组，n = m · n′。我们要证明这些乘积在模 d = rq 的余数上分布均匀。m 那一组带着我们一无所知的系数。这个方法由林尼克提出，经富夫里、伊万尼克、邦别里和弗里德兰德发展，它能把这些系数消掉：

1. 平方。柯西–施瓦茨不等式把“未知系数 × 不均匀程度”换成“不均匀程度的平方，对 m 求和”。未知系数就此消失（式 (7.7)）。

2. 展开。平方（实际值 − 预期值）² 展开成三个和：实际值²，−2 × 实际值 × 预期值，预期值²。论文称之为 𝒮₁、𝒮₂、𝒮₃，分别在第 10、9、8 节处理。

3. 抵消。三者的主项相同，所以主项恰好抵消：1 − 2 + 1 = 0。剩下的就是“离差”：一堆振荡的和。

4. 估计振荡和。它们原来是克卢斯特曼和（Kloosterman sum），分解 d = rq 就用在这里：r 取得刚好略小于第二组的大小（第 11、12 节）。

那一个想法：一堆波叠加起来，会像随机符号一样互相抵消

克卢斯特曼和把单位圆上的 p − 1 个点加起来，取点的规则里用到了模 p 的除法：

假如这些点全都排成一线，和的大小就是 p − 1。事实上它们指向四面八方，大部分互相抵消。安德烈·韦伊（André Weil）在 1948 年证明，这个和永远不超过 2√p：恰好是方向随机时会得到的抵消程度。这叫做平方根抵消。

III 型：三个规矩的因子与德利涅定理

这里的项本质上是“写成三个已知大小的因子之积的数”，弗里德兰德和伊万尼克、以及希思-布朗在 1980 年代研究过这个问题。经过类似的步骤，冒出来的振荡和是克卢斯特曼和的一个三变量亲戚。它所需要的平方根估计（引理 12）归功于伯奇和邦别里（Birch、Bombieri），其基础是德利涅（Deligne）1974 年对韦伊猜想的证明，那是 20 世纪数学最深刻的成果之一。

单靠那个方法，离张益唐需要的范围还差一点。他添上的还是分解 d = rq，这一次 r 取得很小。把一个变量按 r 的倍数平移再求平均，能多赚一个因子 √r，刚好够用。结果（式 (13.4)）是对每个模单独省下 x^ϖ/3。

三种类型都估计好之后，定理 2 成立，定理 1 也随之成立。

后来的事

一屏看完整个证明：

张益唐在 2013 年 4 月投出论文。论文公开之后，7000 万在几周之内就开始往下掉，主要靠一个公开的网上协作项目（Polymath8），它把张益唐论证的每一步都做了优化。2013 年 11 月，詹姆斯·梅纳德（James Maynard）和陶哲轩各自独立地找到了另一种选取权重的办法，它只需要经典的邦别里–维诺格拉多夫定理，而且给出的数小得多。点一点看纪录的变化。

纪录从 2014 年起一直停在 246。从 246 到 2，也就是孪生素数猜想，人们相信需要全新的想法：挡住筛法证明哥德巴赫猜想的那个“奇偶性”障碍，同样横在这里。

阅读指南

逐节对照

第一次读原文，建议的顺序是：先慢慢读第 1、2 节（PDF 第 3–8 页），再看第 5 节的结尾（第 23–24 页）了解最后那个不等式，然后读第 6 节。第 7–14 节是给已经熟悉它们所依据的那些 1980 年代论文的读者看的。

你会遇到的符号

ℋ

模式：一组固定的位移 h₁, …, h_k₀。

P(n)

乘积 (n + h₁)(n + h₂)⋯(n + h_k₀)。

θ(n)

n 是素数时等于 log n，否则为 0。按这个权数素数，公式更干净。

λ(n)

GPY 权重（实际用的是它的平方）。

ℒ

log x 的简写。

ϖ

读作“varpi”，是字母 π 的一种变体。那个小小的额外指数，1/1168。

𝒫

所有小于 x^ϖ 的素数的乘积。“d 整除 𝒫”的意思是 d 光滑且没有重复的素因子。

n ~ x

n 从 x 取到 2x。

Δ(γ; d, c)

不均匀程度：（模 d 余 c 这一类里的实际个数）减去（均分时的一份）。

𝒞_i(d)

模式所关心的那些特定的模 d 余数类。

α ∗ β

狄利克雷卷积：从 α 的范围取一个数、从 β 的范围取一个数相乘，所得到的数列。

A ≪ B

A 至多是 B 的常数倍。

𝔖

“奇异级数”：一个只依赖于模式的正常数。它在最后的比较中约掉了。

姊妹篇：陈景润“1+2”定理导读。